En partant des fonctions trigonométriques des angles aigus étudiées au collège (côté opposé / hypoténuse), lorsque nous sommes confrontés à des angles supérieurs à $90^\circ$ ou négatifs, le triangle rectangle géométrique n'est plus applicable. À ce stade,le cercle unitédevient l'outil essentiel pour unifier tous les angles et définir les fonctions trigonométriques.
1. Définition des fonctions trigonométriques pour les angles quelconques
Soit $\alpha$ un angle quelconque dont le côté terminal intersecte le cercle unité au point $P(x, y)$, alors on définit :
- Sinus (Sine) : $\sin \alpha = y$
- Cosinus (Cosine) : $\cos \alpha = x$
- Tangente (Tangent) : $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Si le point $P(x, y)$ se trouve sur un cercle de rayon $r$, alors $\sin \alpha = \frac{y}{r}$, $\cos \alpha = \frac{x}{r}$, $\tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques d'un même angle
Elles découlent directement de l'équation du cercle unité $x^2 + y^2 = 1$ :
1. Relation quadratique : $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Relation du quotient : $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Relation du quotient : $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
1. Rassemblement des termes d'un polynôme : un carré x², trois bandes rectangulaires x, et deux carrés unités 1×1.
2. Commencez à les assembler géométriquement.
3. Ils forment parfaitement un grand rectangle continu ! La largeur est (x+2), la hauteur est (x+1).
QUESTION 1
Écrivez l'ensemble des angles ayant le même côté terminal que $60^\circ$, puis trouvez les éléments $\beta$ qui satisfont l'inégalité $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Ensemble $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$ ; éléments $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Ensemble $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$ ; éléments $\beta = 60^\circ$
Ensemble $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$ ; éléments $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Ensemble $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$ ; éléments $\beta = 60^\circ$
Correct ! Les angles ayant le même côté terminal diffèrent d'un multiple entier de $360^\circ$. Lorsque $k=0$, $\beta=60^\circ$ ; lorsque $k=-1$, $\beta=-300^\circ$ ; les deux satisfont la condition de plage.
Indice : La forme générale des angles ayant le même côté terminal est $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Cherchez les valeurs de $k$ qui satisfont cette plage.
QUESTION 2
Étant donné que $\alpha$ est un angle aigu, alors $2\alpha$ est ( ).
un angle du premier quadrant
un angle du deuxième quadrant
un angle positif inférieur à $180^\circ$
un angle du premier ou du deuxième quadrant
Correct. Puisque $\alpha$ est un angle aigu, c'est-à-dire $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, alors $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. Notez que $2\alpha$ pourrait être un angle droit, il n'appartient pas nécessairement à un quadrant spécifique.
Notez : La plage des angles aigus est $(0, 90^\circ)$, celle du double est $(0, 180^\circ)$. Elle inclut le premier quadrant, le deuxième quadrant ainsi que la limite de $90^\circ$.
QUESTION 3
Étant donné que le côté terminal de l'angle $\theta$ passe par le point $P(-12, 5)$, calculez la valeur de $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
Correct ! Calculez d'abord $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. Selon la définition, $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Calculez $r$ : $r = \sqrt{x^2+y^2}$. La définition de la valeur sinus est $y/r$.
QUESTION 4
(Réponse orale) Soit $\alpha$ un angle intérieur d'un triangle. Parmi $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, lesquels peuvent prendre une valeur négative ?
Seulement $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ et $\tan \alpha$
Les trois peuvent être négatifs
Seulement $\tan \alpha$
Correct. La plage des angles intérieurs d'un triangle est $(0, \pi)$. Dans le premier quadrant $(0, \pi/2)$, tous sont positifs ; dans le deuxième quadrant $(\pi/2, \pi)$ (angle obtus), le sinus est positif, tandis que le cosinus et la tangente sont négatifs.
Indice : Un angle intérieur d'un triangle peut être aigu, droit ou obtus. Pensez aux signes des fonctions trigonométriques lorsque l'angle est obtus dans le deuxième quadrant.
QUESTION 5
Utilisez la méthode des cinq points pour tracer le graphe de $y = -\sin x$ sur $[-\pi, \pi]$. Lequel de ces points n'est pas un point clé ?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
Correct. La méthode des cinq points prend généralement les points correspondant à un quart de période, soit $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$, et leurs valeurs fonctionnelles associées. $\pi/4$ n'est pas un point clé standard dans cette méthode.
La méthode des cinq points sélectionne les positions critiques où la fonction atteint ses valeurs extrêmes et ses zéros.
QUESTION 6
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est à la fois impaire et de période $\pi$ ?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案，且 $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ 也是满足条件的（选项A更直接）。
Vérifiez la formule de période $T = 2\pi/\omega$ et la parité $f(-x) = -f(x)$.
QUESTION 7
Sans calculer les valeurs, comparez $\cos \frac{2\pi}{7}$ et $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
Égaux
Impossible de comparer
Correct. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Étant donné que $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, et que la fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0, \pi]$, la valeur cosinus est plus grande pour l'angle plus petit.
Indice : Utilisez la formule d'induction $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Comparez ensuite les angles dans le même intervalle de monotonie.
QUESTION 8
Étant donné la fonction $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, son plus petit période positive est ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
Correct. Selon la formule de période $T = 2\pi / |\omega|$, ici $\omega = 2$, donc $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Formule de période : $T = 2\pi / \omega$.
QUESTION 9
Calculez la valeur de $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
Correct. En utilisant l'inverse de la formule de l'angle double : $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Ainsi, $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1/4$.
Indice : Utilisez la formule de l'angle double $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
QUESTION 10
Étant donné que $\sin \beta + \cos \beta = 1/5$, avec $\beta \in (0, \pi)$, quelle est la valeur de $\tan \beta$ ?
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
Correct. En élevant au carré les deux côtés : $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Étant donné que la somme est $1/5 > 0$ et que le produit est négatif, alors $\sin \beta > 0$ et $\cos \beta < 0$ (deuxième quadrant). En résolvant le système, on obtient $\sin \beta = 4/5$, $\cos \beta = -3/5$, donc $\tan \beta = -4/3$.
Indice : Élevez l'équation au carré pour obtenir $\sin \beta \cos \beta$, puis utilisez $\sin^2 + \cos^2 = 1$ pour déterminer les valeurs exactes du sinus et du cosinus.
Défi : Modélisation trigonométrique d'une grande roue
Analyse de phénomènes périodiques réels
Une grande roue a son point le plus élevé à 120 m du sol et son point le plus bas à 10 m du sol. Elle effectue un tour complet en 30 minutes. Supposons qu'elle tourne à vitesse constante, et que le visiteur commence à compter le temps lorsqu'il entre dans la cabine depuis le point le plus bas.
Q1
Trouvez l'expression analytique de la hauteur $h$ (en m) du visiteur au-dessus du sol en fonction du temps $t$ (en min).
Solution détaillée :
1. Amplitude $A$ : Le rayon est $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Déplacement vertical $k$ : La hauteur centrale est $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Vitesse angulaire $\omega$ : La période $T=30$, donc $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Phase $\phi$ : À $t=0$, le point est au plus bas, $h=10$. Soit $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. À $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Expression analytique : $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ ou $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
1. Amplitude $A$ : Le rayon est $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Déplacement vertical $k$ : La hauteur centrale est $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Vitesse angulaire $\omega$ : La période $T=30$, donc $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Phase $\phi$ : À $t=0$, le point est au plus bas, $h=10$. Soit $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. À $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Expression analytique : $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ ou $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
Q2
Quelle est la hauteur au-dessus du sol après 5 minutes de rotation ?
Solution détaillée :
Substituez $t=5$ dans la formule :
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusion : La hauteur est de 37,5 mètres.
Substituez $t=5$ dans la formule :
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusion : La hauteur est de 37,5 mètres.
Q3
Si la cabine tourne à vitesse constante, comment l'évolution de sa position est-elle représentée sur la projection du cercle unité après un demi-cycle ?
Solution détaillée :
Après un demi-cycle (15 minutes), l'angle augmente de $\pi$ radians. Sur le cercle unité, cela signifie que le point $P(x, y)$ est passé au point symétrique par rapport à l'origine, $P'(-x, -y)$. En trigonométrie, cela se traduit par la formule d'induction : $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Par conséquent, si initialement il était au point le plus bas, après un demi-cycle il sera au point le plus haut.
Après un demi-cycle (15 minutes), l'angle augmente de $\pi$ radians. Sur le cercle unité, cela signifie que le point $P(x, y)$ est passé au point symétrique par rapport à l'origine, $P'(-x, -y)$. En trigonométrie, cela se traduit par la formule d'induction : $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Par conséquent, si initialement il était au point le plus bas, après un demi-cycle il sera au point le plus haut.
✨ Points clés
Sur le cercle unitéregarder les coordonnées,$y$ est le sinus $x$ est le cosinus.Somme des carrésest toujours égale à un,rapport tangentdure éternellement!
💡 Les coordonnées sont les valeurs des fonctions
Souvenez-vous que le « cercle unité » est fondamental. La coordonnée horizontale $x$ du point d'intersection du côté terminal avec le cercle unité est $\cos \alpha$, la coordonnée verticale $y$ est $\sin \alpha$ ; il n'est pas nécessaire de diviser par le rayon.
💡 Règle mnémotechnique des signes des quadrants
« Premier tout positif, deuxième sinus positif, troisième tangente positive, quatrième cosinus positif ». Cela détermine comment choisir le signe positif ou négatif lors d'une opération de racine carrée (par exemple, trouver $\cos \alpha$ à partir de $\sin \alpha$).
💡 Domaine de définition de la tangente
Puisque $\tan \alpha = y/x$, lorsque le côté terminal est sur l'axe $y$ (c'est-à-dire $\alpha = k\pi + \pi/2$), $x=0$, et la tangente n'est pas définie.
💡 Rappel sur le radian
Lors de l'application de la formule de Taylor ou d'un modèle physique de période ($T=2\pi/\omega$), les angles doivent être exprimés en radians ; il ne faut pas substituer directement des valeurs en degrés.
💡 Méthode des cinq points pour tracer les graphes
Lors de la construction des courbes sinus et cosinus, identifiez précisément les trois points d'intersection avec l'axe des abscisses et les deux points extrêmes, puis reliez-les par une ligne douce en forme de vague ; ne les reliez pas par des segments droits.